Impulso y Cantidad de Movimiento

Conservación de la cantidad de movimiento

Cantidad de Movimiento

Ejercicios: Cantidad de movimiento

Problema n° 1) Una pelota de béisbol de 0,15 kg de masa se está moviendo con una velocidad de 40 m/s cuando es golpeada por un bate que invierte su dirección adquiriendo una velocidad de 60 m/s, ¿qué fuerza promedio ejerció el bate sobre la pelota si estuvo en contacto con ella 5 ms?.

Desarrollo

Datos:

m = 0,15 kg

v_i = 40 m/s

v_f = - 60 m/s (el signo es negativo ya que cambia el sentido)

t = 5 ms = 0,005 s

Δp = I

p_f - p_i = I
m.v_f - m.v_i = F.t
F = m.(v_f - v_i)/t

F = 0,15 kg.(- 60 m/s - 40 m/s)/0,005 s
F = 0,15 kg.(- 100 m/s)/0,005 s
F = - 3000 N

Problema n° 2) Un taco golpea a una bola de billar ejerciendo una fuerza promedio de 50 N durante un tiempo de 0,01 s, si la bola tiene una masa de 0,2 kg, ¿qué velocidad adquirió la bola luego del impacto?.

Desarrollo

Datos:

m = 0,2 kg

F = 50 N

t = 0,01 s

v_i = 0 m/s

Δp = I

p_f - p_i = I
m.v_f - m.v_i = F.t
m.(v_f - v_i) = F.t
v_f - v_i = F.t/m
v_f = F.t/m

v_f = 50 N.0,01 s/0,2 kg
v_f = 2,5 m/s

Problema n° 3) Una fuerza actúa sobre un objeto de 10 kg aumentando uniformemente desde 0 hasta 50 N en 4 s. ¿Cuál es la velocidad final del objeto si partió del reposo?.

Desarrollo

Datos:

m = 10 kg

v_i = 0 m/s

F_i = 0 N

F_f = 50 N

t = 4 s

Para el impulso debe usarse la fuerza media, por lo tanto:

F = (F_f + F_i)/2
F = (50 N + 0 N)/2
F = 25 N

Δp = I

p_f - p_i = I
m.v_f - m.v_i = F.t
m.(v_f - v_i) = F.t
v_f - v_i = F.t/m
v_f = F.t/m

v_f = 25 N.4 s/10 kg
v_f = 10 m/s

Problema n° 4) Se rocía una pared con agua empleando una manguera, la velocidad del chorro de agua es de 5 m/s, su caudal es de 300 cm ³/s, si la densidad del agua es de 1 g/cm ³ y se supone que el agua no rebota hacia atrás, ¿cuál es la fuerza promedio que el chorro de agua ejerce sobre la pared?.

Desarrollo

Datos:

Φ _V = 300 cm ³/s (caudal volumétrico)

v_i = 5 m/s

v_f = 0 m/s (porque el chorro no rebota)

Δ = 1 g/cm ³

primero debemos hallar la masa de agua y el tiempo de acción:

Φ _M = Φ _V. Δ
Φ_M = 300 cm ³/s.1 g/cm ³
Φ_M = 300 g/s (caudal másico)

Φ _M = 0,3 kg/s éste dato nos dice que en t = 1 s la masa de agua es m = 0,3 kg

Δp = I

p_f - p_i = I
m.v_f - m.v_i = F.t
F = m.(v_f - v_i)/t

F = 0,3 kg.(5 m/s - 0 m/s)/1 s
F = 1,5N

Formulas:Cantidad de movimiento

IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Según el principio de masa, si a ésta se le aplica una fuerza F adquiere una aceleración a :

F = m.a

Siendo:

F: fuerza [F] = N (Newton)

a: aceleración [a] = m/s ²

m: masa [m] = kg

Multiplicando ambos miembros por el tiempo t en que se aplica la fuerza F :

F.t = m.a.t

Como:

a.t = v

siendo:

v: velocidad [v] = m/s

t: tiempo [t] = s

Tenemos:

F.t = m.v

Al término F.t se lo denomina impulso de la fuerza y al término m.v se lo denomina cantidad de movimiento, entonces, para el primero:

I = F.t

siendo:

I: impulso [I] = kg.m/s

para el segundo:

p = m.v

siendo:

p: cantidad de movimiento [p] = kg.m/s

Para deducir las unidades, tenemos:

F.t = m.v

N.s = kg.m/s N = kg.m/s ²

kg.m/s ².s = kg.m/s

luego:

[I] = [p] = kg.m/s = N.s

El impulso de la fuerza aplicada es igual a la cantidad de movimiento que provoca,o dicho de otro modo, el incremento de la cantidad de movimiento de cualquier cuerpo es igual al impulso de la fuerza que se ejerce sobre él.

Unidades en los distintos sistemas
	c.g.s.	S.I.	Técnico
Cantidad de movimiento Impulso	g.m/s din.s	kg.m/s N.s	kgf.s kgf.s

El impulso y la cantidad de movimiento son magnitudes vectoriales.

Conservación de la cantidad de movimiento

Si con un cuerpo de masa m₁ y velocidad v₁ se aplica una fuerza a otro cuerpo de masa m₂ y velocidad v₂, como por ejemplo, en un saque de tenis, en ese instante es aplicable el principio de acción y reacción y tenemos que:

m₁.v₁ = m₂.v₂

es decir la masa de la raqueta por su velocidad, en el momento del choque, debe ser igual a la masa de la pelota de tenis por la velocidad que adquiere.

Enunciando la Ley de conservación de la cantidad de movimiento dice:

En cualquier sistema o grupo de cuerpos que interactúen, la cantidad de movimiento total, antes de las acciones, es igual a la cantidad de movimiento total luego de las acciones.

Σm.v = 0

m_i.v_i = m_f.v_f

ΔP = Δp₁ + Δp₂

Choque

Se produce choque entre dos cuerpos cuando uno de ellos encuentra en su trayectoria a otro y produciéndose contacto físico.

Al producirse el choque también se producen deformaciones en ambos cuerpos, éstas pueden desaparecer de inmediato o perdurar. Si las deformaciones desaparecen rápidamente significa que se ha producido un choque elástico, por el contrario, si permanecen se ha producido un choque inelástico o plástico.

En ambos casos ocurre una variación de la energía cinética que se transformará en calor que disiparán los cuerpos.

1 - Choque plástico o inelástico

a) Velocidades de igual dirección y sentido.

Supongamos un cuerpo 1 de masa m₁ y velocidad v₁ que se dirige a hacia el cuerpo 2 de masa m₂ y velocidad v₂, siendo ambas velocidades de igual dirección y sentido. Sobre cada cuerpo actuó en el momento del choque, el impulso que le provocó el otro cuerpo, entonces hay dos acciones de igual intensidad y sentido contrario, en consecuencia ambas cantidades de movimiento serán iguales y de sentido contrario. Luego del choque ambos cuerpos continúan juntos con una velocidad final común a ambos.

La velocidad final será:

m₁.v_1i + m₂.v_2i = m₁.v_1f + m₂.v_2f

como v_1f y v_2f son iguales porque ambos cuerpos siguen juntos:

v_1f = v_2f = v_f

m₁.v_1i + m₂.v_2i = (m₁ + m₂).v_f

v_f = (m₁.v_1i + m₂.v_2i)/(m₁ + m₂)

b) Velocidades de igual dirección y sentido contrario.

En este caso los cuerpos poseían velocidades de igual dirección pero de sentido contrario antes del choque, como en el caso anterior luego del impacto continúan juntos, con una velocidad final que estará dada por la diferencia de las cantidades de movimiento. La velocidad final será:

m₁.v_1i - m₂.v_2i = m₁.v_1f + m₂.v_2f

igualmente:

v_1f = v_2f = v_f

m₁.v_1i - m₂.v_2i = (m₁ + m₂).v_f

v_f = (m₁.v_1i - m₂.v_2i)/(m₁ + m₂)

La velocidad final mantendrá la misma dirección pero tendrá el sentido de la velocidad del cuerpo que antes del choque tenga más cantidad de movimiento.

2 - Choque elástico

a) Velocidades de igual sentido

Durante el choque cada cuerpo recibe una cantidad de movimiento que es igual a la velocidad perdida por el otro. Al recuperar su forma inicial, cada uno pierde o gana respectivamente, la cantidad de movimiento ganada o perdida en el momento del choque, la velocidad final de cada uno será:

v_1f = (v_2f + v_2i).m₂/m₁ + v_1i

ó:

v_1f = v_2f + v_2i - v_1i

b) Velocidades de distinto sentido

En este caso los cuerpos literalmente rebotan, y la velocidad final de cada uno será:

v_1f = (v_2f - v_2i).m₂/m₁ + v_1i

El principio de conservación del impulso es el mismo que el de conservación de la cantidad de movimiento.

Cabe aclarar que en la práctica podemos aplicar el principio de conservación de la cantidad de movimiento durante los choques, siempre que el tiempo que dura el impacto sea muy pequeño.

Choques o colisiones

Choques o colisiones
Las manifestaciones de la conservación de cantidad de movimiento son más claras en el estudio de choques dentro de un sistema aislado de cuerpos. Se dice que el sistema es aislado, cuando no actúan fuerzas externas sobre ninguna de sus partes. Las leyes que describen las colisiones fueron formuladas por John Wallis, Christopher Wren y Christian Huygens, en 1668. Cuando dos objetos realizan una colisión, entre dichos objetos se producen fuerzas recíprocas de interacción y se dice que los objetos constituyen un sistema físico. Por otra parte, si las únicas fuerzas que intervienen son las fuerzas recíprocas se dice que el sistema está aislado.
Sobre la superficie terrestre no es posible obtener un sistema completamente aislado, pues todos los objetos están sometidos a fuerzas exteriores, tales como la fuerza de fricción o la fuerza de gravedad. Sin embargo se admiten como sistemas aislados los que están formados por objetos que se mueven horizontalmente sobre colchones de aire, capas de gas o superficies de hielo pues en estos casos el roce es mínimo y la fuerza resultante que actúa sobre los objetos que constituyen el sistema es nulo.
También se consideran como sistemas aislados aquellos casos en que las fuerzas exteriores son despreciables comparadas con la fuerza de interacción, como ocurren con bolas de billar, discos de plástico, esferas de acero, etc., que se mueven sobre superficies horizontales lisas.
	Se llama choques a la interacción de dos (o más) cuerpos mediante una fuerza impulsiva. Si m1 y m2 son las masas de los cuerpos, entonces la conservación de la cantidad de movimiento establece que: m1. + m2. = m1. + m2 Donde , , , son las velocidades iniciales y finales de las masas m1 y m2.
Características en los choques 1) Los dos cuerpos pueden desintegrarse en pedazos 2) Puede haber una transferencia de masa 3) Las dos masas se pueden unir para formar una sola 4) Las masas pueden permanecer invariables. Aun en este caso hay diversas posibilidades. Los cuerpos pueden permanecer completamente inalterados, como cuando chocan dos bolas de billar, o bien se pueden deformar, como cuando chocan dos automóviles.
	Choques entre dos cuerpos Los dos son libres antes de la colisión, y puede caracterizarse, cada uno, por su cantidad de movimiento constante. Durante la interacción breve, sus cantidades de movimiento cambian, porque cada uno siente una fuerza de impulsión debida al otro. Los impulsos que sienten los dos cuerpos son iguales y opuestos, porque las fuerzas son iguales y opuestas. La ganancia de cantidad de movimiento de un cuerpo es igual a la pérdida de cantidad de movimiento del otro.
Después del choque, los dos cuerpos también quedan libres, pero tienen cantidades de movimiento distintas. Sin embargo la suma de las cantidades de movimiento no cambia. Nótese que no todas las colisiones se describen en forma adecuada sólo con el impulso. A un cometa que entra al sistema solar y da una vuelta a causa del campo gravitacional del Sol, también se le puede considerar como que �chocó� con el Sol. El movimiento del cometa no se puede determinar mediante un breve impulso y el principio de conservación de cantidad de movimiento.
El momento total de un sistema de cuerpos que chocan no cambia antes, durante, ni después del choque. Esto se debe a que las fuerzas que actúan durante el choque son internas �fuerzas que actúan y reaccionan dentro del propio sistema-. Hay sólo una redistribución o compartimiento del momento que existía antes del choque.
Clasificación de las colisiones En una sola dimensión. Dos objetos físicos realizan una colisión en una dimensión, también llamada colisión frontal , cuando antes y después de la interacción el movimiento de dichos objetos se realiza a lo largo de una recta.
Si dos objetos constituyen un sistema aislado y realizan una colisión frontal, los cambios en las cantidades de movimiento de dichos objetos son iguales en módulo, pero de sentido opuesto. = - Si dos objetos constituyen un sistema aislado y realizan una colisión frontal, la cantidad total de movimiento antes y después de la colisión es la misma. (Ley de la conservación de la cantidad de movimiento)
	Colisiones Elásticas Cuando una bola de billar en movimiento choca de frente con otra en reposo, la móvil queda en reposo y la otra se mueve con la rapidez que tenía la primera. los objetos chocan rebotando sin deformación permanente y sin generación de calor. Cualesquiera que sean los movimientos iniciales, sus movimientos después del rebote son tales que tienen el mismo momento total. En un choque elástico en una dimensión, las velocidades relativas de las dos partículas son constantes.
Rebote Cuando hay rebote se produce una consecuencia interesante de la conservación del momento. Considere una bola de golf que choca con una bola de boliche que se encuentra en reposo. Si el choque es perfectamente elástico, tal manera que la pelota de golf rebote con sólo una pequeñísima pérdida de rapidez, la bola de boliche retrocede con casi el doble del momento que la pelota de golf incidente. Esto es congruente con la ley de la conservación del momento, porque si el momento inicial de la pelota de golf es positivo, entonces, después del rebote, es negativo.
El momento negativo de la pelota de golf es compensado por el mayor momento de la bola de boliche. El momento neto antes y después del choque es el mismo.
	Colisiones Perfectamente inelásticas Cuando los objetos permanecen juntos después de la colisión. Los cuerpos coalecen (�se pegan�) al chocar. En tal caso, la energía mecánica no se conserva, porque no hay fuerzas externas que actúen sobre el sistema de dos partículas. Las velocidades finales son iguales ( = ). Considérese el caso de un carro de carga que viaja sobre una vía y choca con otro en reposo. Si ambos carros tienen la misma masa y se unen al chocar, ¿Es posible predecir la velocidad que tendrán unidos después del impacto? En cualquier choque, es posible decir que: Momento total antes del choque = Momento total después del choque
Esto es cierto incluso cuando los objetos en colisión se unen o traban durante el choque. Supóngase que el carro en movimiento se desplaza a 10 metros por segundo y sea m la masa de cada carro. Entonces por la conservación del momento. ( mtotal)antes = ( mtotal)después ( m= 10)antes = (2 m x ? ) después Puesto que después del choque se está moviendo el doble de masa, la velocidad debe ser la mitad de la que exista antes del choque, o sea 5 m/seg. Así serán iguales ambos miembros de la ecuación. Nótese la importancia de la dirección en estos casos. El momento como la fuerza son cantidades vectoriales.
Colisiones en dos dimensiones Dos objetos realizan una colisión de dos dimensiones o bidimensional, cuando antes y después de la colisión los objetos tienen libertad de moverse en un plano, según direcciones diferentes. Experimentalmente puede comprobarse que la ley de conservación de la cantidad de movimiento es válida también para choques bidimensionales. En este tipo de choques las velocidades inicial y final no están en una sola recta. Las cantidades iniciales de movimiento de las partículas en la colisión se pueden descomponer en dos componentes mutuamente perpendiculares, y Los componentes totales x e y deben satisfacer por separado la condición de conservación. El momento neto antes y después de cualquier choque permanece inalterable, inclusive cuando los objetos que chocan se muevan con ciertos ángulos entre ellos. Para expresar el momento neto al considerar diferentes direcciones, se requiere una técnica denominada adición vectorial.
El momento de cada objeto se expresa como un vector; el momento neto se encuentra combinando los vectores en forma geométrica. Una bomba que durante su caída explota en dos fragmentos. Los valores de momento de los fragmentos se combinan por adición vectorial para igualar el momento original de la bomba en caída.
	Se pueden aplicar los argumentos de la conservación de la cantidad de movimiento a situaciones en las cuales no es cero, pero uno o dos de sus componentes sí. En estos casos, se conservan los componentes correspondientes de . El problema de un proyectil que explota en vuelo es un ejemplo en el cual se puede seguir este camino. La fuerza sobre el sistema no es cero, porque el sistema está sujeto a la gravedad. Sin embargo, esta fuerza no tiene componentes horizontales, y por tanto se conservan los componentes horizontales de . Se presentan estos casos más complicados no como un tema de estudio más profundo sino para conocer situaciones más generales y apreciar que aun cuando la idea de la conservación del momento es elegantemente simple, su aplicación a choques más complicados puede ser difícil especialmente si no se domina la adición vectorial.
Cualquiera que sea la naturaleza de un choque o por muy complicado que se presente, el momento total antes, durante y después de él se mantiene inalterable. Este concepto extremadamente útil permite aprender mucho de los choques haciendo caso omiso de la forma de las fuerzas que interactúan en ellos.
Centro de masas Suponga que tiene dos bloques de masas m1 y m2 que están unidos por medio de un resorte comprimido. Si dichas masas son dejadas libres y se supone que no hay roce, el cuerpo de masa m1adquiere una velocidad y el cuerpo de masa m2 adquiere una velocidad , quedando luego el resorte en reposo. La cantidad de movimiento antes de la interacción es nula porque las masas están en reposo. La suma de las cantidades de movimiento después de la interacción será: m1 + m2 Por el principio de la conservación de la cantidad de movimiento, m1 + m2= 0 Luego m1= -m2
Si la acción del resorte es instantánea, las dos masas se mueven distancias x1 y x2 de su posición inicial, con velocidades constantes, dada cada una en módulo por: = x1 / = x2/ Sustituyendo (2) en (1) se tiene que m1. x1/ = m2. x2/ Donde m1. x1= m2. x2 luego Como puede notarse, esta expresión dice que las distancias recorridas por los cuerpos en relación con el punto donde partieron son inversamente proporcionales a las masas. Esto significa que la mayor distancia la recorre el cuerpo de menor masa.
El centro de masas es el punto que divide la distancia que separa los cuerpos en proporción inversa a sus masas.
	Expresión matemática del centro de masa de un sistema en relación a un punto de origen. Considere dos masas m1 y m2, cuyas distancias a un origen 0 , son respectivamente x1 y x2. Sea c un punto llamado centro de masas del sistema, el cual está a una distancia xcm del origen. La expresión para la coordenada x del centro de

Cantidad de movimiento

En Mecánica Clásica la forma más usual de introducir la cantidad de movimiento es mediante su definición como el producto de la masa de un cuerpo material por su velocidad, para luego analizar su relación con la ley de Newton a través del teorema del impulso y la variación de la cantidad de movimiento.
No obstante, luego del desarrollo de la Física Moderna, esta manera de hacerlo no resultó la más conveniente para abordar esta magnitud fundamental.

El defecto principal es que esta forma esconde el concepto inherente a la magnitud, que resulta ser una propiedad de cualquier ente físico con o sin masa, necesaria para describir las interacciones.
Los modelos actuales consideran que no sólo los cuerpos masivos poseen cantidad de movimiento, también resulta ser un atributo de los campos y los fotones.

Para abordar el tema con un enfoque más moderno primero se deben analizar las interacciones en sus diferentes manifestaciones de acuerdo a los modelos clásicos convencionales:

• La primera, que resulta clásica en mecánica racional, es considerar el choque entre cuerpos materiales, aceptando implícitamente que entre ellos no hay fuerzas atractivas o repulsivas, siendo fortuito el encuentro. Aquí aparece la cuestión sobre choque elástico perfecto y choque plástico con pérdida de energía.
• El siguiente tipo, campo-partícula sin pérdida de energía (choque elástico), resulta de considerar que cada partícula posee un campo asociado capaz de interactuar con la otra, modificando sus trayectorias, velocidades y energías. Un ejemplo típico es el estudio de fuerzas centrales en mecánica analítica.
  En este modelo se considera que los campos actúan instantáneamente, es decir a velocidad infinita, perdiendo su significado como ente físico real, para ser un formalismo auxiliar que simplifica su análisis. En esta categoría están la Ley de Coulomb y la Ley de gravitación universal de Newton.
• El caso de interacción campo-partícula con pérdida de energía resulta más complejo pues aparece un tercer participante, un fotón con la energía disipada.
  Un ejemplo importante e ilustrativo que permite explicar el espectro continuo de emisión de rayos x, es el estudio de la radiación de frenado que ocurre con electrones rápidos obligados a cambiar bruscamente de dirección por acción del campo eléctrico de un núcleo atómico, con pérdida de energía por emisión de radiación (fotón de radiación x).
• La interacción radiación-materia es el caso más ilustrativo de la limitación de la definición usual de la cantidad de movimiento (p=mv). El efecto Compton, que ocurre entre fotones de rayos x o rayos gamma con electrones cuasi libres, es explicado convenientemente si el fotón posee una cantidad de movimiento cuyo módulo está dado por:
  p=, siendo h la constante de Planck y v la frecuencia.
  El fotón y la partícula material modifican sus trayectorias, cantidades de movimiento y energías como resultado de una interacción.

Los cuatro casos descriptos tienen en común la transferencia de energía durante la interacción y/o cambios de dirección del movimiento. A los efectos de poder predecir las consecuencias de una interacción de acuerdo a lo mostrado por la experiencia, es necesario hacer extensivo el concepto de cantidad de movimiento a todos los entes físicos capaces de transferir energía, siendo una magnitud vectorial con dirección y sentido de la velocidad de la partícula y cuyo comportamiento responde a leyes de conservación.

Esta magnitud, que nos permitirá calcular el estado final de los participantes luego de una interacción, resulta ser:

1. Para partículas masivas p=mv
2. Para fotones en el vacío p=c

Las leyes de conservación postuladas como Principios, necesarias para el análisis de las interacciones entre partículas en un sistema aislado (sin fuerzas exteriores), sean partículas masivas o no, son:

1. El Principio de conservación de la energía
2. El Principio de conservación de la cantidad de movimiento
3. El Principio de conservación del momento angular

La gran matemática Emmy Noether (1882-1935) demostró en 1915 que estos Principios son propiedades de leyes de simetría del espacio y el tiempo. Una demostración de estos "Principios" en el marco de la mecánica analítica puede verse en el libro 1 de Landau-Lifshitz "Curso abreviado de Física Teórica". Se demuestra que:

1. La conservación de la energía sale de la uniformidad del tiempo.
2. La conservación de la cantidad de movimiento es consecuencia de la homogeneidad del espacio.
3. La conservación del momento angular resulta de la isotropía del espacio.

Vamos a dedicarle atención al de la conservación de la cantidad de movimiento.
En el apartado que sigue incorporo una demostración propia, válida para sistemas inerciales en el marco de la mecánica newtoniana.

Conservación de la cantidad de movimiento (no relativista).

La isotropía y la homogeneidad espacial requieren que las transformaciones de coordenadas entre sistemas inerciales sean lineales.
La uniformidad del tiempo y la suposición de que su evolución es la misma en todos los sistemas inerciales hace que la coordenada temporal sea absoluta.

Estas propiedades del espacio y el tiempo permiten deducir fácilmente las Transformaciones de Galileo. Veamos su desarrollo:

Sean dos sistemas inerciales O y O’ en movimiento relativo con velocidad V según el eje x, coincidentes en el instante t=0.

Las transformaciones lineales son

x’ = a₁ x + a₂ t y’ = y z’ = z

Consideremos un objeto en reposo en O en la coordenada x. Para cualquier observador de O’ el objeto se mueve con velocidad v’_x’ = - V
Derivando obtenemos:

v’_x’ = - V = a₁ v_x + a₂ = a₂ a₂ = -V

Consideremos ahora un objeto con velocidad V en O. Para el observador O’ el objeto está en reposo respecto de él.
Derivando obtenemos:

v’_x’ = 0 = a₁ v_x + a₂ = a₁ V – V a₁ = 1

Reemplazando resultan las Transformaciones de Galileo

x’ = x - V t y’ = y z’ = z

Mostraremos ahora que el Principio de conservación de la cantidad de movimiento se obtiene como consecuencia de las Transformaciones de Galileo.

Estas transformaciones tienen una propiedad muy interesante: la diferencia de dos velocidades cualesquiera, sean de un objeto o de cuerpos diferentes y en el mismo instante o en instantes distintos, es la misma para todo observador inercial, es decir que es absoluta. Ello se debe a que las velocidades medidas por dos observadores inerciales están relacionadas por:

v’_x’ = v_x – V v’_y’ = v_y v’_z’ = v_z

Nótese que cuando se calcula la diferencia entre dos velocidades se simplifica la velocidad V, con lo cual se hace independiente de la velocidad relativa entre sistemas.

Ahora analicemos el caso de una interacción entre dos cuerpos.
Consideremos dos partículas (1 y 2) que interactúan. Midiendo su velocidad antes (a) y después (d) de la interacción podemos plantear las siguientes relaciones absolutas, válidas para las tres componentes:

v_1d – v_1a = cte = k₁ v_2a – v_2d = cte = k₂

Si las partículas son masivas, con masas m₁ y m₂ respectivamente, puede determinarse la relación k₁ / k₂ en concordancia con la definición de masa relativa de Mach (1838-1916).
Se define como masa inercial relativa entre dos partículas que interactúan, a la relación de los módulos de las aceleraciones medias sufridas en la interacción.

m₂₁ = m₂ / m₁ = a₁ / a₂

Siendo la aceleración media la diferencia de velocidades dividida el tiempo de interacción, que es el mismo para ambas partículas, resulta:

m₂₁ = m₂ / m₁ = a₁ / a₂ = Δv₁ / Δv₂ = k₁ / k₂

En consecuencia, reemplazando obtenemos el Principio de conservación de la cantidad de movimiento.

m₁ v_1a + m₂ v_2a = m₁ v_1d + m₂ v_2d

Nota:
Un aspecto interesante es que la demostración es aplicable a todo tipo de partículas, incluyendo aquellas cuya masa propia sea nula (fotones). Sin embargo, si consideramos válida la definición de masa dada por Mach, toda partícula con la capacidad de interactuar tiene masa asociada. Este hecho genera un nuevo dilema, pues en el caso de fotones se acepta que no son masivos (masa propia nula). Más adelante, en dinámica relativista, veremos que este tema admite distintos tratamientos y es actualmente un motivo de discusión.

Conservación de la cantidad de movimiento en Relatividad Especial.
Masa relativista.

El Principio de Relatividad establece que las leyes válidas de la física deben ser invariantes ante transformaciones de Lorentz, esto es que conserven su forma en todo sistema inercial.

Las leyes describen comportamientos mediante ecuaciones que relacionan magnitudes, las cuales pueden tomar valores distintos respecto de diferentes sistemas, es decir ser relativas al sistema de referencia.
En consecuencia, el Principio de Relatividad nos brinda una herramienta muy importante para la formulación y/o verificación de leyes.

El procedimiento es el siguiente: definidas las magnitudes involucradas en una ley clásica, válida en un sistema inercial, se aplican las transformaciones de Lorentz y se determina cómo deben modificarse dichas magnitudes para que la ley conserve su forma. Luego, usando el Principio de Correspondencia, se verifica que la ley relativista se transforme en la clásica para c tendiendo a infinito.
Finalmente, se analiza la conveniencia que dicha formulación tiene frente a otras opciones posibles.

Puede suceder que existan diferentes opciones para obtener una dada ley. De hecho ese fue el caso cuando se intentó establecer le ley fundamental de la mecánica relativista. Einstein utilizó inicialmente la Ley de Newton expresada mediante F=ma.
La forma en que se transforman la Fuerza y la aceleración cuando se pasa de uno a otro sistema de referencia es diferente, y esa diferencia es distinta según se trate de las componentes paralelas a la velocidad relativa entre sistemas o transversales a ella. En consecuencia, si se pretende que la ley de Newton así expresada (F=ma) sea relativista, la masa debe tomar valores distintos según sea una dirección paralela a su velocidad o transversal a ella.
Esta pérdida de isotropía de la masa no resultó “atractiva” conceptualmente, y se resolvió proponiendo F=dp/dt como ley de la mecánica, pues esta forma de expresar la Ley de Newton conserva su forma ante Transformaciones de Lorentz, sin que la masa pierda su isotropía.

Si aceptamos como definición de cantidad de movimiento p=mv, siendo m la masa, debemos determinar cómo se modifican las magnitudes involucradas para que la ley de conservación de la cantidad de movimiento sea válida en todos los sistemas de referencia inerciales.

La modificación de las velocidades ya fue resuelta con el teorema de adición de velocidades, por lo cual nos queda por determinar cómo debería modificarse la masa para que la Ley tenga la misma forma en todos los sistemas inerciales.

Existen diversas maneras de encarar el tema. La mayoría (sino todos) de los enfoques existentes en la extensa bibliografía sobre Relatividad Especial lo analizan mediante choque entre dos partículas, ya sea elástico con cambio de dirección o inelástico. Al respecto, desarrollé una demostración que se distingue por su simpleza y porque no requiere choque entre partículas. Veamos su desarrollo:

Dos partículas idénticas se mueven según muestra el esquema. Por isotropía espacial sus masas deben ser iguales.

En estas condiciones el centro de masa del sistema permanece en reposo y su cantidad de movimiento es nula. Al sistema de referencia en el cual el centro de masa está en reposo se lo denomina Sistema de centro de masa (o inercia).
Dado que es un planteo unidimensional (x;x’) no indicaremos los subíndices de los ejes.

Para otro observador que se mueva con velocidad V = v, la partícula 1 está en reposo y el centro de masa posee una velocidad v’_CM = -v. A este sistema de referencia en el cual una partícula está en reposo se lo denomina Sistema de Laboratorio.
La cantidad de movimiento en el Sistema de Laboratorio es:

Siendo m’ la masa de la partícula 2, con velocidad v’₂ y m₀ la masa de la partícula 1, en reposo. Aquí la condición de simetría no corresponde pues las partículas tienen distinto estado de movimiento.
Despejando obtenemos:

Aplicando las transformaciones de las velocidades podemos calcular v’₂

Resolviendo esta ecuación algebraica podemos hallar v’_CM en función de v’₂. Por tratarse de una ecuación de segundo grado tendrá dos soluciones, pero una sola con significado físico (pues v'_CM <>2 ). Con la condición de que el módulo de la velocidad del centro de masa debe ser menor que el de la velocidad de la partícula 2, obtenemos:

Reemplazando en la expresión de la masa y operando obtenemos:

Siendo m₀ la masa de la partícula 1, en reposo, y m’ la masa de la partícula 2 en movimiento.
Dado que las partículas son idénticas en reposo, podemos generalizar la expresión anterior y aplicarla para una partícula en movimiento.
Esta masa variable con la velocidad, junto al Principio de Equivalencia entre masa y energía, dieron lugar a la definición de masa relativista. Volveremos a tratar el tema luego del estudio sobre energía relativista.

Es muy importante destacar dos cosas:

1. En la expresión anterior no aparece explícitamente la velocidad relativa entre sistemas de referencia.
   La masa relativista expresa el valor de la masa en función de la velocidad que posee respecto de cada observador inercial. La inercia de un cuerpo material es relativa al observador y depende de su velocidad.
2. Hemos supuesto que la masa propia de la partícula m₀ es invariante, es decir que toma el mismo valor en cualquier sistema de referencia inercial. Ello no es arbitrario pues si así no fuera los sistemas inerciales no serían equivalentes ya que habría una forma de distinguirlos.

Operando la última expresión y usando la definición clásica de cantidad de movimiento (p=mv), obtenemos:

Siendo m la masa relativista y m₀ la masa en reposo que, rigurosamente, debería llamarse masa propia.

La formulación de la Relatividad en un espacio de 4 dimensiones (Minkowski, 1864-1909) dio lugar, en los últimos 20 años, a que especialistas reconocidos tuvieran extensas, caprichosas e innecesarias discusiones, sobre la conveniencia o no de utilizar la masa relativista.
En el caso en que se quiera evitar el uso de masa relativista debe redefinirse la cantidad de movimiento (ver la expresión siguiente).

Finalmente llegamos a la conclusión que la cantidad de movimiento es válida en el marco de la Relatividad Especial si en cualquier sistema de referencia inercial queda determinada por la relación:

Siendo m₀ la masa en reposo y v la velocidad de la partícula en dicho sistema.

Esta definición de cantidad de movimiento es compatible con p=mv sólo si aceptamos que la masa varía con la velocidad. Por ello resulta conveniente, cuando se traten relaciones o leyes que involucren a la masa, indicar a la masa en reposo con el subíndice 0.

En este Curso utilizaremos m en el sentido de masa relativista y m₀ para la masa en reposo, manteniendo la definición “newtoniana” de la cantidad de movimiento.

Luego de este análisis es fácil mostrar para una interacción entre dos partículas en un sistema aislado, que el Principio de conservación de la cantidad de movimiento se cumple en todos los sistemas de referencia inerciales.